unidad dos algebra vectorial

Algebra Vectorial

Objetivo:
Adquirir destreza en el manejo de los segmentos dirigidos y de los vectores en 2 y 3 dimensiones y aplicarlos en problemas geométricos
Un punto cualquiera en el espacio de 3 dimensiones quedara definido si se conoce sus 3 distancias dirigidas a los 3 planos coordenados x, y y z
La distancia del punto al plano yz se llama ábsisa o coordenada x
La distancia del punto al plano xz se llama ordenada o coordenada y
La distancia del plano xy se llama cota o coordenada z
A cada punto en el espacio puede hacerse corresponder una terna ordenada de valores y viceversa
Para espacio de más de 3 dimensiones los puntos no se pueden representar gráficamente

5.1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES.

Cantidad escalar o escalar: es aquella que se especifica por su magnitud y una unidad o especie.

Ejemplos: 10 Kg., 3m, 50 Km./h. Las cantidades escalares pueden sumarse o restarse normalmente con la condición de que sean de la misma especie por ejemplo:

3m + 5m = 8m

10ft^ 2 – 3 ft^ 2 = 7ft^2

5.2 CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR.

Objetivo: Conocerá las características de los vectores.

Cantidad vectorial o vector: Una cantidad vectorial o vector es aquella que tiene magnitud o tamaño, dirección u orientación y sentido positivo (+) o negativo (-) y punto de aplicación, pero una cantidad vectorial puede estar completamente especificada si sólo se da su magnitud y su dirección.

Ejemplos:1) 350 Newtons a 30° al norte del este, esto es nos movemos 30° hacia el norte desde el este.

2) 25 m al norte. 3) 125 Km./h a – 34° es decir 34° en sentido retrogrado.

Un vector se representa gráficamente por una flecha y se nombra con una letra mayúscula ej. A = 25 lb. a 120°. La dirección de un vector se puede indicar con un ángulo o con los puntos cardinales y un ángulo.

No se debe confundir desplazamiento con distancia, el desplazamiento esta indicado por una magnitud y un ángulo o dirección, mientras que la distancia es una cantidad escalar.

Por ejemplo si un vehículo va de un punto A a otro B puede realizar diferentes caminos o trayectorias en las cuales se puede distinguir estos dos conceptos de distancia y desplazamiento .

S1 y S2 Son las distancias que se recorren entre los puntos y son escalares. D1 y D2 son los desplazamientos vectoriales.

La distancia total será la cantidad escalar S1 + S2 en la cual se puede seguir cualquier trayectoria, y el desplazamiento total será la cantidad vectorial

R =D1 +D2

5.3. TIPOS DE VECTORES.

Objetivo: Conocerá los diferentes tipos de vectores.

Vectores Colineales: Son aquellos que actúan en una misma línea de acción.

Ejemplos: En los instrumentos de cuerda, el punto donde está atada la cuerda (puente) se puede representar a la fuerza de tensión en un sentido y al punto donde se afina la cuerda (llave) será otra fuerza en sentido contrario. Otro ejemplo puede ser cuando se levanta un objeto con una cuerda, la fuerza que representa la tensión de la cuerda va hacia arriba y la fuerza que representa el peso del objeto hacia abajo.

Vectores Concurrentes. Son aquellos que parten de un mismo punto de aplicación. Ejemplos: Cuando dos aviones salen de un mismo lugar, cuando dos o mas cuerdas tiran del mismo punto o levantan un objeto del mismo punto.

Vector Resultante. (VR) El vector resultante en un sistema de vectores, es un vector que produce el mismo efecto en el sistema que los vectores componentes.

Vector Equilibrante. (VE) Es un vector igual en magnitud y dirección al vector resultante pero en sentido contrario es decir a 180°

5.4. MÉTODOS GRÁFICOS PARA EL CÁLCULO DE LOS VECTORES RESULTANTE V R Y EQUILIBRANTE V E .

Objetivo: Calculará de manera aproximada el valor de los vectores resultante y equilibrarte por los métodos del paralelogramo, polígono vectorial y el método de componentes.

Introducción: Antes de entrar a la aplicación de los métodos gráficos es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones.

a) La convención de signos es : Para la "x" + a la derecha y - a la izquierda.

Para la "y" + arriba y - abajo.

b) Una escala para representar la magnitud vectorial por medio de una flecha. La fórmula que se utilizará es : Escala = Magnitud del vector x de referencia / Magnitud en cm. que se desea que tenga en el papel, o sea Esc. = Vx / cm. De Vx . por ejemplo si tenemos un vector A = 120 Km/h a 30° al norte del esteLa escala será:

Esc. = 120 Km/4cm, Esc.= 30 Km. / cm., es decir cada centímetro representará 30 Km. en el papel y los demás vectores para el mismo ejercicio o problema se les aplicará la misma escala.

Método del paralelogramo.

Un paralelogramo es una figura geométrica de cuatro lados paralelos dos a dos sus lados opuestos. En este método se nos dan dos vectores concurrentes, los cuales después de dibujarse a escala en un sistema de ejes cartesianos se les dibujaran otros vectores auxiliares paralelos con un juego de geometría siendo la resultante del sistema la diagonal que parte del origen y llega al punto donde se intersectan los vectores auxiliares.

Ejemplo

SI DOS CUERDAS ESTAN ATADAS EN UNA ARGOLLA DE METAL Y SE JALAN, LA PRIMERA CON UNA FUERZA DE 45 NEWTONS CON DIRECCION AL ESTE Y LA SEGUNDA DE 30 NEWTONS A 120°. ¿CUAL SERÁ LA DIRECCIÓN Y MAGNITUD DE LA FUERZA RESULTANTE VR.

Solución: Sea A el primer vector y B el segundo, entonces A = 45 N, dirección E. y B = 30 N, a 120°.

Escala = 45 N / 5cm. = 9 N/cm. o sea1cm: 9 N

Se traza A´ paralela al vector A y B´ paralela a B , el vector resultante será el que sale desde el origen hasta la intersección con los vectores auxiliares A´y B´ después la longitud de VRse multiplica por la escala para obtener la magnitud real de VR.

 SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

Un sistema de vectores deslizantes es cualquier conjunto de vectores deslizantes, digamos v_i, con i=1...n, actuando en sus respectivas rectas de acción (r_i). Llamaremos A_i a un punto genérico en la recta de acción (r_i) del vector v_i.
Resultante de un sistema de vectores deslizantes.
Es un vector libre R que se obtiene como adición de los vectores libres asociados a los vectores del sistema:

R = v₁ + v₂ +...+ v_n = S v_i

Se le conoce también como primer invariante del sistema de vectores.
Campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes.
En primer lugar se define el momento M_o del sistema de vectores respecto de un punto O, que se obtiene como la adición de los momentos de cada uno de los vectores del sistema respecto de O, y puede considerarse como un vector libre o ligado a O, según convenga.

M_o = S OA_i x v_i

El momento es diferente para cada punto del espacio O elegido, por lo que se engendra un campo de momentos. Conocido el momento respecto de un punto O, es inmediato hallar el momento respecto de otro punto O', que resulta ser:

M_o' = M_o + O'O x R

Que es la ecuación del campo de momentos.

Definición de vectores.

Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y se caracteriza por •  su origen o punto de aplicación, O, y su extremo A ; •  su dirección, la de la recta que lo contiene; •  su sentido, el que indica la flecha; •  su módulo, la longitud del segmento OA.

 

Suma y resta de vectores.

La suma o resta de vectores es otro vector a + b = suma Que tiene por coordenadas la suma de las coordenadas de los dos vectores. a + b = suma = (a1 + b1,a2 + b2) En el applet inferior se puede observar la suma y la resta de vectores si seleccionamos la opción que aparece debajo del panel de selección de vectores. La resta a - b equivale a sumar dos vectores a + b1 donde b1=-b.

 

Producto de un escalar por un vector.

El producto de un escalar, k,  por un vector r es otro vector, ir, de la misma dirección que r y cuyo sentido viene determinado por el signo de k. Si k = 0, el vector kr es el vector nulo. A la derecha puede observarse como aumentando el valor de k aumenta el vector v2. El vector v2 es k veces el vector v1 en módulo.

 

Producto escalar de dos vectores.

Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector b (se lee a multiplicado escalarmente por b, o a escalar b ), al escalar fruto de la siguiente operación a · b =  axbx+ayby. Puede comprobarse que la anterior operación puede también expresarse como el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del ángulo,  que forman entre sí, es decir, a · b = a b cosθ. También se puede decir que el producto escalar nos proporciona el valor de la proyección de un vector sobre el otro.