El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a \,$ y $b \,$ , y la medida de la hipotenusa es $c \,$ , se establece que:

(1) $c^2 = b^2 + a^2 \,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
$a = +\sqrt {c^2 - b^2}$	$b= +\sqrt{c^2-a^2}$	$c = +\sqrt {a^2 + b^2}$

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[1]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

$\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}$

$b^2\ =\ b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC:

$\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}$

$a^2\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )$

Pero $\left (a'+b'\right )=\ c$ , por lo que finalmente resulta:

$a^2\ +\ b^2 =c^2$

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Tri%C3%A1ngulos_semejantes_b.svg/310px-Tri%C3%A1ngulos_semejantes_b.svg.png

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

$\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )$

$S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )$

obtenemos después de simplificar que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}$

pero siendo $\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$ la razón de semejanza, está claro que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

$\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2$

$\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

pero según (I) $\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ , así que:

$\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

y por lo tanto:

$b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Teorema_de_Pit%C3%A1goras.Pit%C3%A1goras_b.svg/310px-Teorema_de_Pit%C3%A1goras.Pit%C3%A1goras_b.svg.png

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c²) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b² + a²), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $\alpha \,$ , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

$\operatorname {sen} \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \frac{a}{c}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

$\cos\alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{b}{c}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

$\tan\alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{a}{b}$

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Supongamos que tenemos los triángulos rectángulos ABC y DEF de la figura, que a su vez tienen un ángulo agudo a congruente.

Por el criterio A A los triángulos son semejantes, por lo tanto:

Es decir, si se conoce uno de los ángulos agudos, la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante.

Debido a que la razón entre los lados es constante y depende exclusivamente del ángulo a, se establecieron todas las razones posibles entre dos de los lados del triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y se definen de la siguiente forma:

IMAGEN

Dado el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura, s

e definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo a:

Tabla uno: razones trigonométricas importantes

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°

Si consideramos un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a”, entonces la hipotenusa mide

(ver diagonal de un cuadrado)

Dibujo siete: triángulo rectángulo isósceles de cateto a

Si en este triángulo calculamos las razones trigonométricas, obtenemos:

cálculo de razones trigonométricas para triángulo rectángulo isósceles de cateto a

cálculo de razones trigonométricas para triángulo rectángulo isósceles de cateto a

Para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°, ocuparemos el triángulo equilátero de la figura:

En el triángulo rectángulo que se forma en esta figura, se cumple que:

cálculo de razones trigonométricas para triángulo equilátero de lado a

Resumiendo, las razones trigonométricas sen, cos y tg para 30°, 45° y 60° son:

Tabla dos: razones trigonométricas para ángulos de treinta, cuarenta y cinco, y sesenta grados

Triángulos oblicuángulos

Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

LEY DE SENOS

C sen B sen A sen

γ β α

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de

Problemas

De triángulos. La ley de los Senos dice así: Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y

(Minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la

está en el ángulo opuesto de A. La

está en el ángulo opuesto de B. Y la

está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser asícuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente tesaldrá mal.Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de loscosenos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y unlado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo quehacen esos dos lados, usa la ley del coseno.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo siguiente:Llamemos

al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;

al ángulo de43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5B = ?C = ?

= 43°

= 27°

A BC

βγ α

A BC

βγ α

= ?El ángulo

es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internosde un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de untriángulo, el tercero siempre sale así:

= 180° -

–

Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien oapúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:

= 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°

= 110° Ya tenemos entonces los tres ángulos

.Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:Sustituyendo queda:Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existeahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como elsen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión:3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, peroahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba):hacemos las

operaciones

y queda:6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usadola de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:o escrito ya sin el término de en medio:igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.

LEY DE COSENOS

= A

las estark

miércoles, 26 de octubre de 2011

unidad doslas razones trigonometricas

Razones trigonométricas

Triángulos oblicuángulos

1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él