las estark: septiembre 2011

BOSQUEJO HISTORICO

HOY en día es común pensar que en el complejo proceso de creación, asimilación y aplicación del conocimiento científico, la tecnología es la última etapa que emana de la investigación científica. Si bien es cierto que existe una complicada interrelación entre la ciencia y la tecnología, al grado que es difícil pensar que ésta última sea ajena al quehacer científico, no siempre fue así. Cierto es que por ejemplo las comunicaciones, alámbricas e inalámbricas, surgen de la comprensión del comportamiento del campo electromagnético a través de los estudios de Faraday, Maxwell y Hertz en la segunda mitad del siglo pasado. Así, una tecnología emanó de los resultados de la investigación científica. Pero en el caso de los dispositivos que transforman energía y en particular energía térmica en trabajo mecánico, la situación fue completamente la opuesta. Estos últimos dispositivos, que ahora llamaremos máquinas térmicas se desarrollaron desde su forma más incipiente, en el siglo XVIII, hasta prácticamente la forma en que las conocemos hoy en día, lo que ocurrió ya hacia mediados del siglo XIX, sin que hubiese existido la menor comprensión sobre las causas teóricas, esto es, la explicación científica de su funcionamiento. Hagamos pues un poco de historia.

La primera máquina térmica de que tenemos evidencia escrita fue descubierta por Hero de Alejandría ( ~ 130 a.C.) y llamada la aeolipila. Es una turbina de vapor primitiva que consiste de un globo hueco soportado por un pivote de manera que pueda girar alrededor de un par de muñones, uno de ellos hueco. Por dicho muñón se puede inyectar vapor de agua, el cual escapa del globo hacia el exterior por dos tubos doblados y orientados tangencialmente en direcciones opuestas y colocados en los extremos del diámetro perpendicular al eje del globo. Al ser expelido el vapor, el globo reacciona a esta fuerza y gira alrededor de su eje.

LOS CONCEPTOS TRIGONOMÉTRICOS EN LAS DIFERENTES CULTURAS

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.). La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".
La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

Conceptos básicos

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto sus ángulos; pueden igualmente describirse como longitudes de varios segmentos respecto de una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1)

CONCEPTOS Y CONSTRUCCIONES

1. ¿Qué es la Geometría? Para acercarnos a lo que es la geome- eventos tría, vamos a remontarnos unas cuantas • La forma de los objetos y de sus I ndudablemente, tenemos que empe- zar por hacernos esa pregunta. De entrada, todos tenemos cierta idea de las preguntas más atrás: ¿Dónde encontramos esos objetos “geométricos”? ¿Quién y des- de cuándo les puso esos nombres con los representaciones • El cambio presente en los fenó- menos y en las cosas cosas de las que trata la geometría: del que ahora se presentan? En particular, ¿qué espacio y del plano; de puntos, rectas, signiﬁca la palabra “geometría”? ¿Por qué y Y en este panorama, ¿por dónde apare- segmentos, ángulos; de ﬁguras tales como para qué se estudia? cen los objetos geométricos que mencioná- los triángulos, los cuadrados, las circun- bamos antes? Fundamentalmente, a partir ferencias..., con todos sus elementos; de Estas interrogantes nos regresan a la que de la percepción de la dimensión y de la cuerpos tales como la esfera, el cono, las nos formulamos en el Cuaderno 2 (El siste- forma de los objetos y de sus representa- pirámides...; de relaciones tales como el ma numérico decimal): ¿Por qué la mate- ciones (Senechal, 1998). La naturaleza es paralelismo y la perpendicularidad de rec- mática? Recordamos lo que allí escribíamos la primera surtidora de tales objetos. No tas y segmentos, la simetría y la semejanza (pp. 6 s.): debe costarnos mucho percibirlo, ni darnos de ﬁguras; de la medida de la longitud de cuenta de las regularidades que se presen- un segmento, de la amplitud de un ángulo, ¿Y de dónde salió la matemática? tan en muchos seres y elementos naturales, del área de un polígono, del volumen de ¿Qué elementos, qué “cosas” del entor- regularidades que sugieren determinadas un sólido; etc. Por lo que se ve, un amplio no y del convivir diario pudieron aglu- formas en una, dos o tres dimensiones, así campo de entornos, de objetos, relaciones tinarse para constituir esta disciplina como ciertas propiedades y relaciones, ta- y propiedades. Todos ellos –y otros más- se singular y universal, en la que hoy día les como semejanzas, paralelismos y per- estudian en esta área de la matemática que podemos descubrir campos particulares, pendicularidades, simetrías, etc. denominamos geometría. tales como la aritmética, la geometría, el álgebra, el análisis, la probabilidad y la Por ejemplo, es fácil percibir que hay Pudiéramos, pues, limitarnos a decir estadística, y otras más sutiles? objetos “redondos”: ciertos frutos y semi- que la geometría es la rama de la matemá- llas, algunas piedras, etc. Esos objetos, que tica que estudia todos esos objetos, con Lynn A. Steen (1998) viene a respon- pueden estar hechos de distintas sustancias sus elementos constitutivos, relaciones y der a la pregunta anterior, justamente en y tener distintos tamaños, pesos, olores y propiedades. Pero, ¿es eso todo lo que se términos referidos a la experiencia de las colores comparten, sin embargo, una “regu- puede decir de lo que es la geometría? Más personas ante la naturaleza y la propia laridad”: la de ser redondos. Pues bien, esa aún, ¿es eso lo primero que se puede decir convivencia humana. ¿Cuáles son, pues, regularidad, abierta a cualquier sustancia, acerca de lo que es? las “cosas” que se aglutinaron para con- tamaño, peso, olor y color, puede destacar- formar, con el paso del tiempo y con el se en sí misma y convertirse en objeto de esfuerzo perceptivo y reﬂexivo humano, atención, de modo que pueda ser recono- las matemáticas? He aquí su respuesta: cida en cualquier objeto nuevo que tenga • Las dimensiones de los objetos y forma redonda (posteriormente, alguien lla- de sus representaciones mará esfera a esa forma redonda...). Lo mis- • La cantidad presente en las co- mo sucede con otras formas: cilindros (los sas, en los fenómenos y en sus propieda- troncos de los árboles, los tallos de bambú, des la parte central de ciertos huesos...), conos • La incertidumbre de algunos (algunos volcanes, ciertos árboles, los api- 6

UNIDAD DE MEDIDA O CONSERVACION

.4. Unidades de medida.
El Sistema Internacional de unidades, utiliza el julio (J) como unidad de medida, que es la energía producida por la fuerza de un newton al desplazar su punto de aplicación un metro en su misma dirección y sentido. En muchos campos se usa tradicionalmente la caloría (cal) como unidad de energía, que se define como la cantidad de energía que hay que comunicar a un gramo de agua pura para que su temperatura pase de 14,5º C a 15,5º C a la presión constante de 1 atmósfera.

1 cal = 4,18398 J

La unidad de potencia en el SI. es el watio, y es la potencia generada o consumida por cualquier máquina que consuma o produzca un julio cada segundo.
Por último en el comercio internacional y en las estadísticas se utilizan otras medidas:
Tonelada equivalente de petróleo (tep). Es la cantidad de energía liberada al quemar una tonelada de petróleo. 1 tep = 42 GJ.
Tonelada equivalente de carbón (tec). Igual que la anterior. 1 tec = 28 GJ.
Barril equivalente de petróleo (bep). Energía liberada en la combustión de un barril de petróleo. 1 bep = 5,730 MJ.

la dependencia de la sociedad actual de los combustibles fósiles.

Para saber más. (Página web del Dep. de Ingeniería eléctrica y electrónica de la UNED sobre unidades y su conversión)

Ángulo1. ¿

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.^[^1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.^[^1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manijas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ rad Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

LOS ANGULOS EN EL PLANO CARTECIANO

Plano cartesiano

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).

Triángulo

n triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación de los triángulos

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó $\pi/3\,$ radianes.)
como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales^[^1] ), y
como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

Congruencia de triángulos

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Condiciones de congruencia

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes.
Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro.

Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLA: Si dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes.

Semejanza (geometría)

Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

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miércoles, 28 de septiembre de 2011

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miércoles, 14 de septiembre de 2011

COMENTARIO DE TRIGONOMETRIA

viernes, 9 de septiembre de 2011

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lunes, 5 de septiembre de 2011

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